QUADRATIQUES (FORMES)

QUADRATIQUES (FORMES)

La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d’espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l’analyse fonctionnelle (équations différentielles, aux dérivées partielles ou intégrales). Elle est étroitement liée au concept de dualité. Enfin, l’étude arithmétique des formes quadratiques a été le point de départ de la théorie des nombres algébriques et a eu d’importantes répercussions sur la théorie des fonctions automorphes.

1. Généralités

En algèbre classique, on appelle «forme n -aire de degré r » un polynôme homogène de degré r par rapport à n variables; pour r = 1, on dit «forme linéaire» et, pour r = 2, on dit «forme quadratique». Dans la mathématique actuelle, on généralise la notion de forme quadratique comme on a généralisé celle de forme linéaire (cf. algèbre LINÉAIRE ET MULTILINÉAIRE): étant donné un anneau commutatif A et un A-module M, on considère les applications Q de M dans A qui vérifient une relation de la forme:

quels que soient x et y dans M, et 猪 dans A. En donnant à et 猪 les valeurs 0 ou 1, on voit aussitôt que:

et:

en exprimant de plusieurs manières Q(x + y + z ), pour x , y et z dans M, on voit sans peine que l’expression:

est symétrique en x , y et z et que l’on a par suite:

d’autre part, on a:

donc D(x , y , z ) = 0 lorsque A est sans diviseur de zéro et contient au moins trois éléments. Pour un anneau commutatif A quelconque, on dit que Q est une forme quadratique sur M si D(x , y , z ) = 0 quels que soient x , y et z dans M, c’est-à-dire si B est une forme bilinéaire (nécessairement symétrique). On dit que cette forme bilinéaire est associée à la forme quadratique Q. Si, dans l’anneau A, l’équation 2 﨡 = 見 a une solution unique pour tout 見 捻 A, toute forme bilinéaire symétrique B sur M 憐 M détermine inversement une forme quadratique Q à laquelle elle est associée, puisque:

La définition précédente montre par récurrence que, si a ¹, ..., a ^m sont des éléments de M et si 﨡¹, ..., 﨡^m sont des scalaires de A, on a:

où 見^ij = B(a ⁱ , a ^j ) pour i j et 見ⁱⁱ = Q(a ⁱ ), donc B(a ⁱ , a ⁱ ) = 2 見ⁱⁱ . En particulier, si les a ^j forment une base de M, on retrouve la définition classique des formes quadratiques.

Exemples

Si l’on a été amené à donner une définition aussi générale, c’est parce que l’on rencontre naturellement des formes quadratiques de types très variés dans les applications. L’exemple le plus connu de forme quadratique est le «carré scalaire», dont l’étude est exactement la géométrie euclidienne. Deux des parties les plus importantes des mathématiques contemporaines, la géométrie riemannienne et la théorie des espaces de Hilbert, sont des extensions de cette étude dans deux directions: la forme quadratique est «infinitésimale» en géométrie riemannienne, et l’espace où elle est définie est de dimension infinie dans la théorie hilbertienne.

Dans tous ces cas, la forme est «positive non dégénérée» (cf. infra , chap. 2). Mais les formes non dégénérées non positives n’ont pas moins d’importance: leur théorie (pour les espaces de dimension finie) a deux «traductions» classiques: la théorie des coniques, des quadriques et de leurs généralisations aux dimensions supérieures, et d’autre part les géométries «non euclidiennes» (cf. GROUPES - Groupes classiques et géométrie, QUADRIQUES); l’aspect «infinitésimal» de cette théorie est la théorie des espaces pseudo-riemanniens, qui est à la base de la théorie de la relativité. Les formes quadratiques à coefficients complexes correspondent aux quadriques (et leurs généralisations) dans les espaces complexes; et c’est une forme à coefficients complexes, la forme de Killing, sur laquelle repose la classification des groupes de Lie semi-simples (cf. GROU- PES - Groupes de Lie).

L’étude des formes quadratiques à coefficients entiers, débutant avec Fermat et Euler, a été le ferment le plus actif dans le développement de la théorie des nombres: la théorie des formes binaires, équivalente à celle des corps quadratiques, a été, avec Gauss, le point de départ de la théorie des nombres algébriques; celle des formes quaternaires est étroitement liée à la théorie arithmétique des quaternions et celle des formes à un nombre quelconque de variables est à l’origine du développement moderne de la théorie des groupes arithmétiques et des fonctions modulaires à n variables.

Tout récemment, les formes quadratiques ont reçu des applications plus inattendues. En topologie différentielle, c’est la considération d’une forme quadratique sur le corps à deux éléments F² qui permet de définir un nouvel invariant, grâce auquel on a pu donner le premier exemple d’une variété topologique non susceptible d’être munie d’une structure différentielle (M. Kervaire); d’autres formes quadratiques interviennent en cohomologie (théorie de l’index) et en K-théorie, et l’on est même amené pour certaines questions à généraliser la notion de forme quadratique en considérant des applications de M dans un second A-module M («applications quadratiques»). L’application la plus imprévue est sans doute celle qui permet d’exclure a priori certains entiers N dans la recherche des plans projectifs finis (non desarguiens) ayant N + 1 points: on montre en effet que, s’il existe un tel plan, alors il y a une matrice carrée A d’ordre ² + N + 1 = n à coefficients entiers telle que ^t A 練 A = B , où B est une matrice d’ordre n ayant tous ses éléments égaux à 1, sauf ceux de la diagonale principale égaux à N + 1 (Bruck-Ryser): la théorie de Minkowski-Hasse (cf. infra , Résultats spéciaux , in chap. 2) donne des conditions arithmétiques de possibilité d’une telle relation qui permettent d’exclure certaines valeurs de N.

Transformation des formes quadratiques

La notion fondamentale à la base de toute la théorie des formes quadratiques est celle de transformée d’une telle forme par une application linéaire: si M et N sont deux A-modules, si g : MN est une application linéaire et Q une forme quadratique sur N, x 料 Q(g (x )) est une forme quadratique sur M, dite transformée de Q par g ; si B est la forme bilinéaire associée à Q, la forme:

associé à Q 獵 g , est dite transformée de B par g . On se bornera dans toute la suite aux A-modules de type fini (pour la théorie hilbertienne, voir l’article théorie SPECTRALE). Lorsque M est un A-module libre , pour toute base (e ^j ), 1 諒 j 諒 n , de M, la matrice carrée symétrique T = (B(e ^j , e ^k )) est appelée la matrice de B (ou de Q) par rapport à cette base; si N est un second A-module libre, si (f ⁱ ), 1 諒 i 諒 m , est une base de N et X la matrice de type (m , n ) d’une application linéaire g de M dans N relativement aux bases choisies, alors la matrice de la transformée Q 獵 g de Q par rapport à (f ⁱ ) est ^t X.T.X.

Les problèmes qui se posent naturellement dans la théorie des formes quadratiques sont les suivants.

A) Étant donné deux formes quadratiques Q¹ et Q² sur des A-modules M¹ et M², la forme Q² est-elle transformée de la forme Q¹? On dit encore alors que «Q¹ représente Q²». En particulier, si M¹ et M² sont libres et si T ¹ et T ² sont les matrices de Q¹ et de Q² par rapport à des bases, une réponse positive à la question entraîne l’existence d’une matrice X à éléments dans A telle que:

inversement, cette existence entraîne que Q² est transformée de Q¹ lorsque, dans A, l’équation 2 﨡 = 見 a toujours une solution unique. On notera que, dans ce dernier cas, lorsqu’on prend M² = A de sorte que T ² = ( 見) est une matrice à un seul élément, résoudre l’équation (3) revient à trouver dans M¹ les solutions de 2Q¹(x ) = 見 que l’on appelle «représentations de l’élément 見/2 par Q¹».

B) «Classer» les formes quadratiques sur un module M pour diverses sortes de relations d’équivalence entre ces formes. De façon précise, on se donne un sous-groupe 臨 du groupe des bijections linéaires de M sur lui-même, et on considère comme équivalentes deux formes quadratiques transformées l’une de l’autre par une application g 捻 臨. On peut encore dire que l’ensemble des formes quadratiques sur M est un A-module 陸(M) dans lequel le groupe 臨 opère linéairement , et on cherche les orbites de 臨 pour cette action.

C) Étude du groupe de toutes les bijections linéaires de M qui transforment une forme quadratique en elle-même. Nous en avons donné d’importants exemples dans l’article GROUPES - Groupes classiques et géométrie. Notons simplement que les formes quadratiques sont exceptionnelles à cet égard parmi les formes de degré 礪 1; pour les formes de degré 閭 3, le groupe des transformations linéaires laissant invariant la forme est en général fini.

2. Formes quadratiques sur un corps

Nous distinguons deux cas, suivant que la caractéristique du corps de base K est distincte de 2 ou égale à 2.

Corps de caractéristique size=5 2

Résultats généraux

On peut se borner ici à considérer le problème de transformation d’une forme quadratique en une autre sous la forme (3). Un premier invariant est le rang de la matrice T d’une forme quadratique Q; il est aussi appelé rang de Q ou rang de la forme bilinéaire associée B, et noté rg(Q) ou rg(B). C’est un entier qui peut prendre l’une quelconque des valeurs entre 0 et la dimension n de l’espace vectoriel V où est définie Q. On dit que la forme Q (ou B) est non dégénérée si rg (Q) = n ; la forme bilinéaire B définit alors un isomorphisme 﨏 de V sur son dual V (cf. algèbre LINÉAIRE ET MULTILINÉAIRE) par la relation:

pour x et y dans V; cela permet de définir dans V les notions de vecteurs orthogonaux, de sous-espace isotrope et de sous-espace totalement isotrope (cf. GROUPES - Groupes classiques et géométrie, chap. 3).

Un second invariant est l’indice de Witt 益 諒 n /2 (cf. GROUPES - Groupes classiques et géométrie, chap. 3); l’espace V se décompose en somme directe d’un sous-espace W de dimension n 漣 2 益, ne contenant aucun vecteur isotrope 0, et d’un sous-espace orthogonal à W, dans lequel l’indice de Witt de la restriction de Q à ce sous-espace est 益; pour n et 益 donnés, la classe d’équivalence de la forme Q^W, restriction de Q à W, détermine entièrement celle de Q, ce qui permet de ramener le problème d’équivalence au cas des formes anisotropes (c’est-à-dire d’indice 0).

On appelle discriminant de Q (ou de B) par rapport à une base de V le déterminant de la matrice de B par rapport à cette base; comme la relation (3) entraîne:

on voit que le discriminant dépend de la base choisie, mais sa classe d (Q) dans le groupe quotient K/K² du groupe multiplicatif K de K par le sous-groupe des carrés dans K est un invariant de Q.

Enfin, pour deux éléments 見 et 廓 de K, on désigne par ( 見, 廓) l’algèbre de quaternions (généralisés), espace vectoriel de dimension 4 sur K ayant une base formée de 1 (élément unité) et de trois éléments x ¹, x ² et x ³ avec la table de multiplication:

C’est une algèbre simple de centre K, si 見廓 0. Cela étant, il y a toujours des bases (e ^j ), 1 諒 j 諒 n , de V orthogonales pour Q, autrement dit telles que:

ainsi Q(x ) est somme de «termes carrés». On appelle algèbre de Hasse de Q pour cette base le produit tensoriel des algèbres de quaternions ( 見^j , 見¹ 見² ... 見^j ), pour 1 諒 j 諒 n , et on démontre que cette algèbre S(Q) ne dépend pas, à isomorphie près, de la base orthogonale choisie.

On peut prouver que, pour n 諒 3, les invariants rg(Q), d (Q) et S(Q) caractérisent , à équivalence près, les formes quadratiques sur un corps quelconque K (de caractéristique 2); mais cela n’est plus exact pour n 閭 4. On n’a, dans ce cas, que des résultats pour des corps particuliers.

Résultats spéciaux

a ) Le corps K est algébriquement clos ; un seul invariant suffit, le rang rg(Q); pour rg(Q) = n , on a 益 = [n /2], partie entière de n /2.

b ) Le corps K est le corps R des nombres réels ; pour toute base orthogonale (e ^j ) de V, si:

le nombre p (resp. q ) des 見^j qui sont 礪 0 (resp. 麗 0) est indépendant de la base choisie («loi d’inertie» de Sylvester); on dit que (p , q ) est la signature sig (Q) de Q; les nombres p et q caractérisent les formes quadratiques à équivalence près; on a rg(Q) = p + q ; si p + q = n , on a 益 = inf (p , q ) et d (Q) est la classe de (face=F0019 漣 1)^q . Le groupe R/R² a ici deux éléments.

c ) Le corps K est fini ; dans ce cas, le groupe K/K² a encore deux éléments; les invariants rg(Q) et d (Q) caractérisent Q, à équivalence près; si rg(Q) = n , on a 益 閭 1 pour n 閭 3.

d ) Le corps K est un corps local (cf. théorie des NOMBRES - Nombres p -adiques), d’idéal maximal face=F9828 P. Pour deux éléments 見 et 廓 de K, le symbole de Hilbert ( 見, 廓) face=F9828 size=1^P est défini comme égal à 1 si l’équation 見﨡² + 廓兀² = 1 a une solution dans K, comme égal à 漣 1 dans le cas contraire (cf. DIVISIBILITÉ, chap. 4); et on montre que deux algèbres de quaternions ( 見, 廓) et ( 見 , 廓 ) sont isomorphes si et seulement si on a ( 見, 廓) face=F9828 size=1^P = ( 見 , 廓 ) face=F9828 size=1^P. On associe alors à la forme quadratique Q son symbole de Hasse S face=F9828 size=1^P(Q), égal par définition au produit des symboles de Hilbert ( 見^j , 見¹ 見² ... 見^j ) face=F9828 size=1^P pour toute expression (4) de Q à l’aide d’une base orthogonale. On prouve que les invariants rg(Q), d (Q) et S face=F9828 size=1^P(Q) caractérisent Q, à équivalence près. On a toujours 益 閭 0 pour rg(Q) 閭 5.

e ) Le corps K est un corps de nombres algébriques (cf. théorie des NOMBRES - Nombres algébriques). Pour toute place v de K, le corps K se plonge canoniquement dans le corps local complété K^v, et on peut donc considérer une forme quadratique Q sur K comme une forme quadratique Q^v sur K^v. La théorie est entièrement ramenée au cas des corps locaux par le principe de Hasse : pour qu’une forme quadratique Q soit transformée d’une forme Q, il faut et il suffit que Q ^v soit transformée de Q^v pour chaque place v (finie ou à l’infini). Les invariants rg(Q), d (Q), S face=F9828 size=1^P(Q face=F9828 size=1^P) pour toute place finie, et sig(Q^v) pour toute place réelle à l’infini, caractérisent donc Q, à équivalence près (théorème de Hasse-Minkowski). Les symboles S face=F9828 size=1^P(Q face=F9828 size=1^P) sont égaux à 1, sauf pour un nombre fini de places finies face=F9828 P, et on a la loi de réciprocité de Hilbert:

Corps de caractéristique 2

Soit K un corps de caractéristique 2, V un espace vectoriel de dimension n sur K et Q une forme quadratique sur V. La forme bilinéaire B associée à Q est alors alternée , autrement dit B(x , x ) = 0 pour tout x 捻 V; son rang rg (B) est par suite un nombre pair 2p . Soit V 旅 le sous-espace de V, formé des x 捻 V tels que B(x , y ) = 0 pour tout y 捻 V; sa dimension est n 漣 2 p et on a:

pour x et y dans V. L’ensemble V⁰ des x 捻 V 旅 tels que Q(x ) = 0 est donc un sous-espace vectoriel de V. Si q 諒 n 漣 2 p est sa dimension, on dit que 2 p + q est le rang rg (Q) et on appelle défaut de Q l’entier 嗀(Q) = q = rg (Q) 漣 rg (B). Si U est un supplémentaire de V⁰ dans V 旅, si W est un supplémentaire de V 旅 dans V et si l’on prend une base de V qui soit réunion d’une base symplectique (e ^j ), 1 諒 j 諒 2 p , de W (c’est-à-dire telle que B(e ^j , e ^k ) = 0 sauf pour les couples (e ^j , e ^j+p ), pour lesquels B(e ^j , e ^j+p ) = B(e ^j+p , e ^j ) = 1 pour 1 諒 j 諒 p ), d’une base (e ^j ), 2 p + 1 諒 j 諒 2 p + q , de U et d’une base (e ^j ), 2 p + q + 1 諒 j 諒 n , de V⁰, alors on obtient, pour:

l’expression de Q(x ) suivante:

où la relation:

entraîne 﨡^j = 0 pour 2p + 1 諒 j 諒 2p + q . Le défaut q ne peut être 礪 0 que si K est imparfait , c’est-à-dire que le sous-corps K² de K formé par les carrés des éléments de K est distinct de K; plus précisément, on a q 諒 [K : K²].

Les entiers p et q sont évidemment des invariants de Q. On dit qu’un sous-espace L de V est totalement singulier si Q(x ) = 0 dans L; pour les formes de rang n , la dimension d’un tel espace est 諒 p . Le maximum 益 des dimensions des espaces totalement singuliers est encore appelé l’indice de Witt de Q et est un invariant de cette forme.

Si, pour une base (e ^j ) choisie comme plus haut, on forme l’élément:

on dit que cet élément est le pseudo-discriminant (ou invariant d’Arf ) de Q par rapport à cette base. Pour une autre base du même type, le pseudo-discriminant est de la forme:

pour un élément 﨡 捻 K; comme les éléments 﨡² + 﨡 forment un sous-groupe P du groupe additif K, la classe d (Q) de (Q) dans le groupe quotient K/P est encore un invariant de Q.

Enfin, on peut généraliser aux corps de caractéristique 2 la notion d’algèbre de quaternions et obtenir ainsi pour Q un invariant qui généralise l’algèbre de Hasse définie supra (cf. Résultats généraux , in Corps de caractéristique 2). Grâce à ces invariants, on peut, pour certains corps de caractéristique 2, obtenir une classification complète des formes quadratiques sur ces corps.

3. Réduction des formes quadratiques

Nous ne considérerons plus à partir de maintenant que des formes quadratiques non dégénérées sur le corps R des nombres réels, définies dans un espace R^r , et nous nous intéresserons aux sous-groupes 臨 du groupe linéaire GL(r , R) opérant à droite, par (g , Q) 料 Q 獵 g , dans l’espace 陸(R^r ) de ces formes. Deux cas sont particulièrement étudiés, correspondant au groupe orthogonal 臨 = O(r , R) et au groupe 臨 = SL(r , Z) des matrices inversibles de déterminant 1 à coefficients entiers. Nous renvoyons pour le premier cas à l’article théorie SPECTRALE, le problème étant celui de la réduction d’une forme quadratique (ou d’une «hyperquadrique») à ses «axes». La théorie de la «réduction» correspond au second cas. Comme les orbites de GL(r , R) dans 陸(R^r ) sont les ensembles de formes de signature donnée (p , q ), avec p + q = r (cf. supra, Résultats spéciaux , in Corps de caractéristique 2), il y a lieu de distinguer le cas des formes positives non dégénérées (c’est-à-dire p = r et q = 0) et le cas des formes où p et q sont tous deux 礪 0 (dites aussi «indéfinies»).

Formes positives

L’ensemble 流 (ou 流^r ) de ces formes s’identifie à celui des matrices symétriques positives inversibles: c’est un «espace symétrique» 流 = K G d’Élie Cartan, avec G = GL(r , R) et K = O(r , R) qui est le stabilisateur de la matrice unité. Le problème essentiel de la théorie de la réduction est de trouver dans 流 un «ensemble fondamental» face=F9828 G aussi «petit» que possible tel que toute orbite de 臨 dans 流 le rencontre: il suffit de prendre l’image canonique dans 流 d’un ensemble face=F9828 G 說 G tel que G = face=F9828 G 練 臨. Si l’on désigne par A le sous-groupe commutatif de G formé des matrices diagonales à termes a ⁱⁱ 礪 0 et par N le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures (n ^ij ) telles que n ^ij = 0 si j 麗 i et n ⁱⁱ = 1 pour 1 諒 i 諒 r , toute matrice g 捻 G s’écrit d’une seule manière: g = k 練 a 練 n , avec k 捻 K, a 捻 A et n 捻 N; cette décomposition s’appelle «décomposition d’Iwasawa» (cf. GROUPES - Groupes de Lie, chap. 2).

On appelle domaine de Siegel face=F9828 G^{t ,u} dans G l’ensemble des matrices k 練 a 練 n , avec a ⁱⁱ 諒 t 練 a ^{i +1,i +1} pour 1 諒 i 諒 r 漣 1 et |n ^ij | 諒 u pour i 麗 j ; une méthode remontant à Gauss (pour r = 2) et à Hermite prouve qu’il répond à la question posée, pour t 閭 2/ 連3 et u 閭 1/2. L’intérêt du choix d’un tel domaine fondamental face=F9828 G est que son intersection avec SL(r , R) a une mesure de Haar finie ; d’autre part, si M est un ensemble de matrices m à coefficients entiers de déterminants bornés , alors l’ensemble M face=F9828 size=1^G des m 捻 M telles que face=F9828 G 惡 face=F9828 G 練 m soit non vide est fini (Siegel). En outre, le fait que face=F9828 Gt ,u , pour les valeurs de t et de u indiquées plus haut, soit un domaine fondamental entraîne l’inégalité d’Hermite:

où le déterminant est celui de la matrice de Q par rapport à la base canonique de R^r . Enfin, cela entraîne aussi que le groupe 臨 est de type fini.

Un procédé de «réduction» plus fin, dû à Minkowski, fournit dans 流 un domaine fondamental plus petit que les domaines de Siegel face=F9828 G ^{t ,u} , qui a la propriété de ne pouvoir avoir que des points frontières en commun avec ses transformés par 臨. Pour r = 2, en écrivant une forme quadratique positive a (x + 精y )(x + 精y ), avec a 礪 0 et 精 nombre complexe tel que Im 精 礪 0, on identifie l’espace 流⁽¹⁾ des formes quadratiques positives, définies à un facteur constant près, au demi-plan Im 精 礪 0; la réduction de Minkowski donne alors le domaine fondamental classique défini par | 精| 閭 1 et |Re 精| 諒 1/2 et représenté par la figure.

Formes «indéfinies»

Si Q est une forme quadratique de signature (p , q ) avec p + q = r et pq 0, on ne peut plus poser le problème de la «réduction» comme pour les formes positives. En effet, le groupe orthogonal O(Q), sous-groupe de GL(r , R) laissant Q invariante, est ici tel que O(Q) 惡 SL(n , Z) soit infini , et la propriété de finitude de Siegel ne peut donc être vérifiée pour aucun ensemble face=F9828 G non vide. La notion de «réduction» qu’il faut introduire ici est une découverte célèbre d’Hermite. On ordonne l’ensemble 流 des formes quadratiques positives non dégénérées par la condition que Q¹ 諒 Q² signifie que Q² 漣 Q¹ 捻 流; pour une forme quadratique indéfinie donnée Q, on appelle majorante d’Hermite de Q une forme Q 捻 流 telle que |Q(x )| 諒 Q (x ) pour tout x 捻 R^r qui est minimale dans l’ensemble des formes de 流 ayant cette propriété. Si 流(Q) est l’ensemble des majorantes d’Hermite de Q, alors 流(Q) est encore un espace symétrique K G, avec G = O(Q) et K sous-groupe compact maximal isomorphe à O(p ) 憐 O(q ). La forme Q est alors dite réduite au sens d’Hermite si l’intersection de 流(Q) et d’un domaine de Siegel face=F9828 G dans 流 n’est pas vide, ou encore si Q est l’image par des opérateurs appartenant à un domaine de Siegel face=F9828 G dans G de la forme canonique:

le théorème de finitude fondamental est que, pour tout 見 礪 0 dans R, l’ensemble des formes réduites dont la matrice est de la forme 見X , où X a ses éléments entiers , est un ensemble fini .

Ces résultats ont été considérablement généralisés au cours de ces dernières années. On y remplace GL(r , R) par le groupe des points réels G^R, d’un groupe algébrique réductif G défini sur Q et 臨 par un sous-groupe «arithmétique» de G: le problème fondamental est l’étude de l’espace homogène G^R/ 臨, et notamment l’obtention de critères pour que cet espace soit compact, ou de volume fini, ainsi que la preuve d’existence de «domaines fondamentaux» ayant des propriétés de finitude généralisant celles qui sont décrites ci-dessus (A. Borel-Harish-Chandra).

4. Formes quadratiques sur Zⁿ

On se borne aux formes quadratiques sur Zⁿ non dégénérées, qui s’écrivent sous la forme Q: x 料 B(x , x ), où B est une forme bilinéaire sur Zⁿ 憐 Zⁿ à valeurs dans Z; la forme bilinéaire associée à Q est donc 2 B, et ce qu’on appelle la matrice de Q est ici la matrice de B (et non celle de 2 B) par rapport à la base canonique de Zⁿ ; c’est par suite une matrice symétrique non dégénérée arbitraire à coefficients entiers. Le problème fondamental est l’étude de l’équation (3), où T ¹ et T ² sont deux telles matrices, d’ordres respectifs n et m 諒 n , et où la matrice inconnue X est une matrice de type (m , n ) à coefficients entiers. Pour m = n , les matrices T ² pour lesquelles (3) a une solution constituent la classe de T ¹.

Une autre manière de présenter l’étude des formes quadratiques sur Zⁿ est de considérer une forme quadratique non dégénérée fixe sur Rⁿ . Si B est la forme bilinéaire symétrique associée, on considère les réseaux E dans Rⁿ , à savoir les Z-modules de type fini engendrant l’espace Rⁿ , tels que B(x , y ) soit entier pour x et y dans E; deux tels réseaux sont isomorphes s’ils se déduisent l’un de l’autre par une transformation orthogonale (pour B). Comme tout réseau est un Z-module libre (donc isomorphe à Zⁿ ), les diverses bases de E correspondent aux formes quadratiques sur Zⁿ formant une classe d’équivalence . L’avantage de cette présentation est qu’elle s’étend au cas où l’on remplace Z par l’anneau des entiers d’un corps de nombres algébriques; les réseaux sur un tel anneau ne sont plus nécessairement des modules libres.

Dans l’étude des formes quadratiques sur Zⁿ , on est amené à chercher à étendre le «principe de Hasse» de la théorie des formes quadratiques sur Qⁿ . Les matrices X à coefficients entiers figurant dans l’équation (3) peuvent être considérées comme ayant leurs éléments dans l’un quelconque des anneaux d’entiers p -adiques Z^p , ou dans R, et l’existence de solutions X à coefficients entiers implique donc celle de solutions X dans chacun de ces anneaux. Mais, ici, la réciproque n’est plus exacte; les formes quadratiques x ² + 55y ² et 5x ² + 11y ² sont équivalentes dans R et dans tous les Z^p , mais non dans Z (la première représente 1, mais non la seconde). On est donc amené à envisager une notion d’équivalence moins stricte que celle qui est définie ci-dessus: deux matrices symétriques non dégénérées T ¹ et T ² correspondant à des formes quadratiques sur Zⁿ sont dites appartenir au même genre si l’équation (3) a, dans chaque Z^p , une solution X ^p (dépendant de p ) ainsi qu’une solution dans R (ce qui signifie que les formes quadratiques correspondantes ont même indice). On déduit de la théorie de la réduction qu’un genre ne contient qu’un nombre fini de classes.

L’étude approfondie de l’équation (3) dans Z repose sur des méthodes analytiques, où la formule sommatoire de Poisson (cf. DISTRIBUTIONS, chap. 4) joue un rôle prépondérant. Il y a lieu de distinguer le cas des formes positives du cas des formes «indéfinies».

Formes positives

Si S et T sont des matrices symétriques correspondant à des formes positives non dégénérées sur Zⁿ , d’ordres respectifs n et m , avec m 諒 n , on note N(S , T ) le nombre de solutions en matrices X sur Z de l’équation ^t X 練S 練X = T , nombre qui est fini et ne dépend que des classes de S et de T . On ne connaît pas de formule donnant ce nombre pour n et m quelconques, mais Siegel en a obtenu une expression «moyenne» qui fait intervenir non seulement la classe de S , mais toutes les classes du genre de S . Désignant par S ^j des représentants de ces classes, on pose:

et la formule de Siegel s’écrit:

où 塚(S ) est la «masse» du genre de S au sens d’Eisenstein-Minkowski, c’est-à-dire le nombre:

somme des inverses des ordres des groupes d’automorphismes de S ^j . Au second membre de (8), 益 parcourt l’ensemble des «places» (finies ou non) de Q, et 見^v (S , T ), qui ne dépend que des genres de S et de T , «mesure» en un certain sens l’ensemble des solutions de l’équation ^t X.S.X = T dans Q 益. On a, d’autre part, une formule explicite (remontant à Minkowski) pour 塚(S ):

ce qui permet, en faisant T = S dans (8), d’obtenir le nombre de classes dans le genre de S .

La formule (8) pour T = S a une interprétation remarquable dans la théorie des groupes «adéliques». Si A est le groupe des adèles de Q (cf. voir théorie des NOMBRES - Nombres algébriques), on note G^Q, G^v et G^A les groupes des matrices carrées X à coefficients dans Q, Q^v et A respectivement vérifiant les relations det(X ) = 1 et ^t X.S.X = S . On définit un sous-groupe ouvert G size=1^行 de G^A comme produit:

où v parcourt l’ensemble des places de Q, où G size=1^行(v) = G^v lorsque v = 秊 est la place à l’infini et où, pour chaque nombre premier p , l’ensemble G size=1^行(p) est l’ensemble des matrices de G^p à coefficients entiers p -adiques.

On voit alors que les classes du genre de S correspondent biunivoquement aux doubles classes de G^A suivant les sous-groupes G size=1^行 et G^Q: si U ^j sont des représentants de ces doubles classes, de sorte que G^A est la réunion des G size=1^行U ^j G^Q, on désigne par R^{p (j)} , pour chaque nombre premier p , le transformé dans Q^{p n} du réseau Z^{p n} par l’automorphisme (U ^{j -1})^p , projection de U ^{j -1} sur G^p . Il y a alors un réseau et un seul R^(j) dans Qⁿ dont l’adhérence dans Q^{p n} est R^{p (j)} pour tout p ; la matrice S ^j est celle qui correspond à la forme quadratique lorsqu’on prend pour base de Qⁿ une base (sur Z) du réseau R^(j) .

On peut définir sur G^A une mesure de Haar privilégiée m (cf. analyse HARMONIQUE, chap. 4), dite mesure de Tamagawa , coïncidant dans G size=1^行 avec le produit de mesures de Haar m ^v sur les G^v . Soit alors G⁰(U ^j ) le sous-groupe discret de G size=1^秊, projection du groupe (U ^{j -1}G size=1^行U ^j ) 惡 G^Q; des raisonnements élémentaires de la théorie de la mesure de Haar donnent la relation:

où, par abus de langage, les mesures de Haar m et m size=1^秊 sur des quotients de G^A ou de G size=1^秊 par des groupes discrets sont celles qui sont déduites canoniquement des mesures notées m et m size=1^秊 sur G^A et G size=1^秊. On constate alors que cette formule devient identique à la formule de Siegel (8) pour T = S , une fois que l’on a prouvé que le «nombre de Tamagawa» m (G^A/G^Q) est égal à 2; la preuve de ce fait (qui peut se faire indépendamment des résultats de Siegel) nécessite le même genre de méthodes analytiques. On peut aussi obtenir de cette manière la formule générale (8) pour n 閭 4 et m 諒 n 漣 3. En outre, cette méthode d’«adélisation» peut être considérablement généralisée en remplaçant G par un groupe algébrique semi-simple défini sur Q et en considérant des sous-groupes «arithmétiques» convenables de G (Tamagawa, A. Weil, T. Ono).

Formes indéfinies

Les développements précédents subsistent sans modification lorsqu’on remplace G par le groupe analogue correspondant à la matrice S d’une forme indéfinie à coefficients entiers; mais, comme ici les nombres N(S , T ) sont infinis, il n’est plus possible d’interpréter la formule (10) et l’analogue pour T S de la même manière que pour les formes positives; Siegel a montré comment le faire en interprétant, dans la formule (8), les nombres 猪(S ^j , T ) comme des volumes de domaines fondamentaux pour certains groupes discontinus ou comme des limites de rapports de nombres de solutions comme dans (7), où l’on impose aux solutions d’être dans un domaine borné de Z^mn et où l’on fait ensuite tendre ce domaine vers l’espace tout entier.

Donnons un exemple de ce genre d’interprétation qui précise le théorème de Meyer affirmant qu’une forme quadratique indéfinie à coefficients entiers et à cinq variables au moins a toujours des solutions non triviales. Si:

est une forme indéfinie à coefficients entiers, si:

est une majorante d’Hermite de cette forme et si on pose:

x parcourant l’ensemble infini des solutions de Q(x ) = 0, alors cette série est convergente et, lorsque 﨎 tend vers 0, le nombre A( 﨎) croît indéfiniment et est équivalent à C 﨎^{-(n -1)/2}, où C est une constante.

À d’autres égards, les formes indéfinies ont une théorie plus simple que les formes positives: le nombre des classes d’un genre est toujours une puissance de 2 (qui peut être arbitrairement grande), et les nombres 猪^j (S , T ) pour les classes d’un même genre sont tous égaux , ce qui donne leur valeur en vertu de la formule de Siegel lorsqu’on connaît le nombre de classes du genre. Dans certains cas, on a même une classification complète des réseaux correspondant aux formes quadratiques indéfinies: il en est ainsi pour les formes sur Zⁿ de déterminant 梁 1. On les classe en deux types suivant que la forme quadratique ne prend que des valeurs paires (type 2) ou prend aussi des valeurs impaires (tympe 1). Les réseaux de type 1 sont isomorphes à p I⁺ 簾 q I^-, où I⁺ (resp. I^-) correspond à la forme quadratique x ² (resp. 漣 x ²) sur Z et où p et q sont des entiers 閭 1; les réseaux de type 2 sont isomorphes à 梁 (p U 簾 q 臨⁸), avec p et q entiers 閭 0, où U correspond à la forme quadratique 2 x ¹x ² sur Z². Pour n = 4k , 臨ⁿ est le réseau dans Qⁿ formé des (x ^j ), 1 諒 j 諒 n , tels que 2 x ^j et x ⁱ 漣 x ^j soient entiers pour tous les indices, et que l’entier:

soit pair, la forme bilinéaire fixe prise sur Qⁿ étant:

on vérifie que la forme quadratique positive sur Zⁿ définie par 臨^4k est à coefficients entiers et ne prend que des valeurs paires si k est pair.

5. Formes quadratiques et fonctions modulaires

Lorsqu’on fait m = 1 dans la formule de Siegel (8), de sorte que T est réduite à un seul entier N, on obtient une «valeur moyenne» du nombre de solutions de l’équation Q(x ) = N dans Zⁿ pour une forme positive Q sur Zⁿ ; si l’on sait que le genre de S ne contient qu’une seule classe , ou si les nombres N(S ^j , T ) sont les mêmes pour toutes les classes du genre de S , la formule (8) donne le nombre de solutions de Q(x ) = N pour tout N. Par exemple, si:

on sait depuis Eisenstein que le genre de S n’a qu’une seule classe pour n 諒 8, mais ce n’est plus exact pour n 閭 9; pour n = 16, il y a deux classes dans le genre, mais elles donnent la même valeur à N(S ^j , T ). On déduit donc de la formule de Siegel (8) des expressions exactes pour le nombre de représentations de N comme somme de n carrés pour n 諒 8 ou n = 16.

La théorie des fonctions thêta et des formes modulaires donne des expressions remarquables pour le second membre de (8) pour m = 1. Soit Q(x ) une forme quadratique positive non dégénérée sur Zⁿ et soit S sa matrice; la série:

où x parcourt Zⁿ , est absolument convergente pour Im z 礪 0 et est donc une fonction holomorphe de z dans ce demi-plan. La formule sommatoire de Poisson permet de prouver l’identité de Jacobi générale:

Bornons-nous, pour simplifier, au cas où det(S ) = 1 et où les termes diagonaux de S sont pairs; on montre que cela implique que n est un multiple de 8; la relation (12) s’écrit alors:

et d’autre part:

Or, dans le demi-plan supérieur Im z 礪 0, les transformations z 料 z + 1 et z 料 漣 1/z engendrent le groupe modulaire de toutes les transformations:

avec a , b , c , d entiers et ad 漣 bc = 1; c’est un groupe discontinu dont un domaine fondamental est donné par la figure. Une forme modulaire de poids 2 k , pour k entier, est une fonction f holomorphe dans Im z 礪 0 telle que:

pour toute transformation du groupe modulaire; en outre, on impose à f la condition d’être holomorphe à l’infini, ce qui implique qu’elle est développable en série:

convergente pour Im z 礪 0; on dit de plus que la forme est parabolique si a ⁰ = 0. La fonction ^s est donc une forme modulaire de poids n /2.

Si k 礪 1, la série d’Eisenstein :

où (c , d ) parcourt Z² 漣0, est convergente (cas particulier d’une série de Poincaré pour le groupe modulaire) et est une forme modulaire de poids 2 k , telle que G^k (face=F0019 秊) = 2 﨣(2k ); en posant q = e ² size=1^神iz , on montre que:

avec:

où B^k est le k -ième nombre de Bernoulli et 靖^2k-1 (N) la somme des puissances (2 k 漣 1)-ièmes des diviseurs de N (cf. calculs ASYMPTOTIQUES, chap. 2).

On montre alors que l’on a ^s = E^k + f ^s où k = n /4 et où f ^s est une forme modulaire parabolique. Comme l’on peut écrire:

où r ^s (N) est le nombre de solutions de l’équation Q(x ) = 2 N dans Zⁿ , on déduit de (14) l’expression asymptotique:

Pour n = 8 ou n = 16, on a f ^s = 0; pour n = 24, on montre que f ^s = c ^s F, où F est la forme parabolique:

étroitement liée à la théorie des fonctions elliptiques, et c ^s une constante dépendant de la classe de S et qu’on détermine en évaluant le coefficient r ^s (1); on montre, pour n = 24, qu’il y a vingt-quatre classes de formes quadratiques vérifiant les conditions indiquées ci-dessus. Siegel a montré que, pour m = 1, la matrice T étant réduite à l’entier N, la série génératrice dont le coefficient de q ^N est le premier membre de la formule (8) s’exprime encore à l’aide de séries d’Eisenstein. Il a ensuite étendu ce fait au cas où m est quelconque, en introduisant des «fonctions modulaires d’ordre m », où le demi-plan Im z 礪 0 est remplacé par le «demi-espace de Siegel» formé des matrices symétriques complexes d’ordre m , dont les parties imaginaires sont des matrices positives non dégénérées; le groupe modulaire est remplacé par le groupe de transformations:

du demi-espace de Siegel, la matrice:

d’ordre 2 m parcourant le groupe symplectique Sp (2 m , Z) sur Z; la notion de série d’Eisenstein se généralise et permet d’étendre les formules précédentes.

Encyclopédie Universelle. 2012.